L'opera di Cantor ha avuto un impatto profondo non solo nella matematica, ma anche in filosofia e logica. Le sue scoperte inizialmente incontrarono resistenza, poiché sfidavano le concezioni tradizionali dell'infinito e della continuità. Tuttavia, col tempo, la teoria degli insiemi transfiniti di Cantor è diventata un pilastro della matematica moderna e della logica matematica, influenzando campi come la topologia, l'analisi e la teoria della computazione.
Cantor aprì la strada a una nuova comprensione dell'infinito, mostrando che l'infinito non è un concetto unico, ma presenta molteplici forme e dimensioni.
Cantor è stato il primo a formalizzare la nozione di insieme, un concetto che definisce una collezione di elementi distinti, che possono essere numeri, oggetti o qualsiasi altro tipo di entità. Questo concetto è alla base della matematica moderna, in quanto fornisce un modo rigoroso per parlare di collezioni e strutture.
Una delle più importanti innovazioni di Cantor è stata l'introduzione dei numeri transfiniti, che estendono la nozione di numero all'infinito. I numeri transfiniti sono utilizzati per descrivere grandezze infinite, andando oltre i numeri naturali. Cantor dimostrò che ci sono diversi livelli di infinito, distinguendo tra infinito numerabile (ad esempio, l'insieme dei numeri naturali) e infinito non numerabile (come l'insieme dei numeri reali).
Cantor introdusse il concetto di cardinalità per misurare la dimensione degli insiemi, inclusi quelli infiniti. Scoprì che non tutti gli insiemi infiniti hanno la stessa cardinalità, dimostrando che l'insieme dei numeri reali ha una cardinalità maggiore rispetto all'insieme dei numeri naturali.
Attraverso il suo lavoro, Cantor ha esplorato le proprietà controintuitive dell'infinito. Una delle sue scoperte più celebri è il paradosso dell'hotel di Hilbert, che illustra come sia possibile aggiungere un numero infinito di nuovi ospiti a un hotel con stanze già occupate, un esempio che evidenzia la natura peculiare dell'infinito numerabile.